King Property

\[\int^b_af(x)dx = \int^b_af(a+b-x)dx\]

導出

$y=a+b-x$ と置換すると、

• $dy=-dx$
• 積分区間 $a\rightarrow b$ が $b\rightarrow a$

となるので、

\[\eqalign{ \int^b_af(x)dx &= \int^a_bf(a+b-y)(-dy) \\ &= \int^b_af(a+b-y)dy }\]

例題

\[\eqalign{ I = \int^\frac{\pi}{2}_0\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx }\]

を求めよ。

例題解答

$\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$、 $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ であることと King Property を利用して、

\[\eqalign{ I &= \int^\frac{\pi}{2}_0\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx \ \ \ \cdots (1) \\ &= \int^\frac{\pi}{2}_0\frac{\cos(0+\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(0+\frac{\pi}{2}-x)+\sin(0+\frac{\pi}{2}-x)}dx \\ &= \int^\frac{\pi}{2}_0\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx \ \ \ \cdots (2) }\]

$I = (1) = (2)$ であることから、$(1) + (2) = 2I$ であり、

\[\eqalign{ 2I &= \int^\frac{\pi}{2}_0\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx + \int^\frac{\pi}{2}_0\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}dx \\ &= \int^\frac{\pi}{2}_0\frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}dx \\ &= \int^\frac{\pi}{2}_01dx \\ &= \frac{\pi}{2} }\]

以上より、

\[\eqalign{ I = \frac{\pi}{4} }\]

おまけ

ヨビノリ先生がサラッと King Property 使ってるのがかっこよかったので。